例如用關(guān)聯(lián)單步入式高低溫試驗室擺來演示共

　　用 Matlab 軟件模擬振動實驗 喻力華,陳昌勝,劉書龍,項林川 【摘 要】摘 要:采用 Matlab 軟件求解簡諧振動、阻尼振動與受迫振動的微分 方程,通過得到的位移-時間關(guān)系,來分析不同振動方式的物理特征。 【期刊名稱】大學(xué)物理實驗 【年(卷),期】2011(024)003 【總頁數(shù)】3 【關(guān)

　　用 Matlab 軟件模擬振動實驗 喻力華,陳昌勝,劉書龍,項林川 【摘 要】摘 要:采用 Matlab 軟件求解簡諧振動、阻尼振動與受迫振動的微分 方程,通過得到的位移-時間關(guān)系,來分析不同振動方式的物理特征。 【期刊名稱】大學(xué)物理實驗 【年(卷),期】2011(024)003 【總頁數(shù)】3 【關(guān)鍵詞】關(guān) 鍵 詞:Matlab 軟件;簡諧振動;阻尼振動;受迫振動 振動是“大學(xué)物理”課程中的一個重要教學(xué)內(nèi)容,在實際的課堂教學(xué)中通常采用 一些演示實驗來說明所涉及的物理概念,例如用關(guān)聯(lián)單擺來演示共振現(xiàn)象,但某些 重要的振動特性卻較難通過實驗來清晰地演示,如阻尼力對共振條件的影響等。 由于振動的許多特征是由運動微分方程的解在不同參數(shù)的情況下表現(xiàn)出來的,而 在“大學(xué)物理”課程中通常直接給出物體振動的位移表達(dá)式,因此,為了較清晰地 演 示 和 說 明 振動 的 特點 , 本 文 采 用 Matlab 數(shù) 學(xué) 軟 件中 的 符 號數(shù) 學(xué) 工 具 箱 (SymbolicMathToolbox)求解振動微分方程,并且利用軟件的作圖功能直觀地將 振動的位移-時間關(guān)系顯示出來,從而清晰地展示了許多振動的物理特征,這種方 法是課堂演示實驗的一種很好的補充。 1 振動微分方程的求解 以機(jī)械振動為例,物體振動微分方程的一般形式為[1]: 式中:x 為物體的位移,t 為時間,ω0 為振動的固有圓頻率,β 為阻尼因子,反映阻尼 力的大小(由阻尼系數(shù)和振子質(zhì)量決定),h 反映外強迫力的大小(由外強迫力振幅 和振子質(zhì)量決定),ω 為周期性外強迫力的圓頻率。若 h=0,則為阻尼振動;若 h=0,β=0,則為簡諧振動;若 h≠0,β≠0,則為受迫振動。 利用 Matlab 軟件求解上述微分方程的語句如下[2]: 2 簡諧振動與阻尼振動 當(dāng) h=0 時,β2＜ω20 為弱阻尼振動;β2＞ω20 為過阻尼振動,β2=ω20 為臨界阻 尼振動,β=0 為簡諧振動。如圖 1 所示,(a)為簡諧振動,其他為弱阻尼振動�？梢� 看出,簡諧振動的振幅不變,而當(dāng)阻尼因子增大時,弱阻尼振動的振幅隨時間衰減 得更快,并且從圖中還可看出阻尼力的增大導(dǎo)致振動周期增大,這一特征很難通過 實驗演示。圖 2 為弱阻尼、臨界阻尼和過阻尼振動的比較,可以看出,臨界阻尼和 過阻尼振動由于阻尼力太大,使振子無法完成一次振動,只能逐漸趨衡位置。 從圖中可以清楚地看出,臨界阻尼使振子快回到平衡位置,因此在需要使振動盡 快停止的實驗裝置中(如天平、電表表頭),應(yīng)該采用臨界阻尼。 3 受迫振動 圖 3、圖 4 分別為外強迫力頻率小于和大于固有振動頻率時的受迫振動。由于 受迫振動的解由兩項組成[1],其中一項振幅隨時間指數(shù)衰減,在阻尼力很小的情 況下,其頻率主要由固有振動頻率決定,另一項為振幅不變的簡諧振動形式,其頻 率為外強迫力頻率�？梢钥闯�,在兩種外強迫力頻率的情況下,經(jīng)過一段時間,振 動均逐漸趨近于外強迫力頻率的簡諧振動形式。圖 5 為外強迫力頻率等于固有 振動頻率的情況,由于阻尼力較小(β=0.1s 1),根據(jù)振幅共振外強迫力頻率需滿足 的條件[1]: 因此出現(xiàn)了明顯的共振現(xiàn)象,其穩(wěn)定振動的振幅明顯大于圖 3、圖 4 的情況。 圖 6 為阻尼力較強情況下的共振。顯然,由于阻尼因子較大,指數(shù)衰減項很快趨近 于零,因此振動很快過渡為簡諧振動的形式。根據(jù)(2)式,外強迫力圓頻率 ω=1s- 1 時滿足振幅共振條件,這時的穩(wěn)定振動振幅明顯大于外強迫力圓頻率等于固有 振動頻率的情況。 4總結(jié) 通過以上討論可以看出,利用 Matlab 軟件求解振動微分方程,可以很容易地獲得 振動的一些基本特征,并可方便地修改相關(guān)參數(shù)來觀察振動的變化,因此這種方法 特別適合用于教學(xué)演示。 參考文獻(xiàn): [1]張三慧.大學(xué)物理學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社,1999. [2]D.Hanselman,B.Littlefield.精通 Matlab 綜合輔導(dǎo)與指南[M].李人厚,張平安, 譯.西安:西安交通大學(xué)出版社,1998.
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